2017年郴州市两会召开前夕.某网站推出两会热点大型调查.调查数据表明.民生问题时百姓最为关心的热点.参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与者中随机选出200人.并将这200人按年龄分组:第1组[15.25).第2组[25.35).第3组[35.45).第4组[45.55).第5组[55.65).得到的频率分布直方图如图所示．(1)求出频率分布直方图中� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．

2017年郴州市两会召开前夕，某网站推出两会热点大型调查，调查数据表明，民生问题时百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%，现从参与者中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65），得到的频率分布直方图如图所示．
（1）求出频率分布直方图中的a值，并求出这200的平均年龄；
（2）现在要从年龄较小的第1，2，3组用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取3人赠送礼品，求抽取的3人中至少有1人的年龄在第3组的概率；
（3）若要从所有参与调查的人（人数很多）中随机选出3人，记关注民生问题的人数为X，求X的分布列和数学期望．

分析（1）由频率分布直方图中小矩形的面积之和为1，能求出a．
（2）分层抽样的方法在第3组中应抽取7人，设事件“抽取3人中至少有1人年龄在第3组”为A，则$\overline{A}$为“抽取的3人中没有1人年龄有第3组”，由此能求出抽取的3人中至少有1人的年龄在第3组的概率．
（3）X的所有可能值为0，1，2，3，依题意得X～B（3，$\frac{4}{5}$），由此能求出X的分布列和数学期望．

解答解：（1）由频率分布直方图得：
（0.01+0.015+0.03+a+0.01）×10=1，
解得a=0.035．
（2）分层抽样的方法在第3组中应抽取$\frac{0.035}{0.01+0.015+0.035}×12$=7人，
设事件“抽取3人中至少有1人年龄在第3组”为A，
则$\overline{A}$为“抽取的3人中没有1人年龄有第3组”，
则抽取的3人中至少有1人的年龄在第3组的概率：
P（A）=1-P（$\overline{A}$）=1-$\frac{{C}_{5}^{3}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{21}{22}$．
（3）X的所有可能值为0，1，2，3，依题意得X～B（3，$\frac{4}{5}$），
且P（X=k）=${C}_{3}^{k}（\frac{4}{5}）^{k}（\frac{1}{5}）^{3-k}$，k=0，1，2，3，
∴X的分布列为：