Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c的零点是-1和3，当x∈（-1，3）时，f（x）＜0，且f（4）=5．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求函数g（x）=（

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2

）^f（x）的最大值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由条件将二次函数设为两根式，然后由f（4）=5可解得，（2）令t=f（x）=x²+2x-3，求t的取值范围，利用复合函数的性质求解．

解答： 解：（1）由题意可设该二次函数为f（x）=a（x-1）（x+3）且a＞0，
∵f（4）=5可得a（4+1）（4-3）=5，解得a=1，
∴f（x）=（x-1）（x+3）=x²+2x-3，
（2）由（1）知，设t=f（x）=x²+2x-3=（x+1）²-4≥-4，
又∵g（t）=（

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2

）^t在[-4，+∞）上是减函数，
∴g（t）≤（

1

2

）^-4=16，
又∵g（x）与g（t）有相同的最值，
∴g（x）的最大值为16．

点评：本题考查函数的零点概念，二次函数求解析式的方法以及指数函数与二次函数的复合型函数的最值，着重对函数性质的分析和把握．