Question

已知△ABC的三条边分别为a，b，c求证：

a+b

1+a+b

＞

c

1+c

．

Answer 1

考点：不等式的证明,不等式的基本性质

专题：不等式的解法及应用

分析：设f(x)=

x

1+x

，x∈(0，+∞)，利用函数单调性的定义可得其单调递增，利用其单调性即可证明．

解答： 证明：设f(x)=

x

1+x

，x∈(0，+∞)，
设x₁，x₂是（0，+∞）上的任意两个实数，且x₂＞x₁≥0，
则f(x1)-f(x2)=

x1

1+x1

-

x2

1+x2

=

x1-x2

(1+x1)(1+x2)

，
∵x₂＞x₁≥0，∴f（x₁）＜f（x₂）．
∴f(x)=

x

1+x

在（0，+∞）上是增函数．
由a+b＞c＞0可得f（a+b）＞f（c）．
即

a+b

1+a+b

＞

c

1+c

．

点评：本题考查了通过构造函数利用其单调性证明不等式的方法，属于中档题．