Question

4．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=\sqrt{3}+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数，α为直线l的倾斜角），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ+$\frac{π}{3}$），
（I）求证：直线1过定点，并求其定点M坐标；
（Ⅱ）直线l与圆C的两个交点为A，B．当|AB|最小时，求α的值．

Answer 1

分析 （I）求出直线l的普通方程，化成点斜式方程即可得出结论；
（II）求出圆C的普通方程，判断M在圆内部，故当AB与CM垂直时，|AB|最小，利用直线垂直得出直线l的斜率，从而求出α的值．

解答 解：（I）∵直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=\sqrt{3}+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），
∴直线l的普通方程为$\frac{x-1}{cosα}=\frac{y-\sqrt{3}}{sinα}$，即y-$\sqrt{3}$=tanα（x-1）．
∴直线l过定点M（1，$\sqrt{3}$）．
（II）∵圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ+$\frac{π}{3}$）=2sinθ+2$\sqrt{3}$cosθ，∴ρ²=2ρsinθ+2$\sqrt{3}$ρcosθ，
∴圆C的直角坐标方程为：x²+y²=2y+2$\sqrt{3}$x，即（x-$\sqrt{3}$）²+（y-1）²=4．
∴圆C的圆心为C（$\sqrt{3}$，1）．
∵CM=$\sqrt{（\sqrt{3}-1）^{2}+（1-\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{2-\sqrt{3}}$＜2，∴点M在圆C内部．
∴当直线l与CM垂直时，弦长|AB|最小，
此时tanα•k_CM=-1，
∵k_CM=$\frac{\sqrt{3}-1}{1-\sqrt{3}}$=-1，∴tanα=1，
∴α=$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，直线与圆的位置关系，属于基础题．