Question

13．（1）求过点A（-2，-4）且和x+3y-26=0相切于（8，6）的圆的标准方程；
（2）圆心在5x-3y+8=0上，且圆与坐标轴相切，求此圆的方程．

Answer 1

分析 （1）由已知中圆经过点A（-2，-4），且与直线l：x+3y-26=0相切于（8，6），我们可以设出圆的方程，然后将两点坐标代入结合圆心到直线l的距离等于半径，构造方程组，解方程组即可求出圆的方程．
（2）与坐标轴相切，所以圆心到两个坐标轴距离相等，结合圆心在5x-3y-8=0上，求出圆心坐标，可得圆的半径，从而可得圆的标准方程．

解答 解：（1）设圆为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
连接切点与圆心的直线和半径垂直得，$\frac{6+\frac{E}{2}}{8+\frac{D}{2}}$=3即3D-E+36=0
依题意有方程组$\left\{\begin{array}{l}{3D-E=-36}\\{2D+4E-F=20}\\{8D+6E+F=-100}\end{array}\right.$
∴D=-11，E=3，F=-30．
∴圆的方程为x²+y²-11x+3y-30=0．
（2）与坐标轴相切，所以圆心到两个坐标轴距离相等，所以x=y或x=-y
又圆心在5x-3y+8=0上
若x=y，则x=y=-4；若x=-y，则x=-1，y=1
所以圆心是（-4，-4）或（-1，1）
因为半径就是圆心到切线距离，即到坐标轴距离
所以圆心是（-4，-4），则r=4；圆心是（-1，1），则r=1
所以所求圆的标准方程为（x+4）²+（y+4）²=16和（x+1）²+（y-1）²=1．

点评 本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，圆的标准方程，考查学生分析解决问题的能力，其中根据圆过已知的两个点，及与直线相切，构造方程组是解答本题的关键．