题目内容
若正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）ABC-A1B1C1的所有顶点都在球O的球面上，AB=3，AA1=2，则球O的体积为 ．
考点：球的体积和表面积
专题：计算题,空间位置关系与距离,球
分析：根据对称性，可得球心O到正三棱柱的底面的距离为1，球心O在底面ABC上的射影为底面的中心O'，求出O'A，由球的截面的性质，求得半径OA，再由球的体积公式，计算即可得到．
解答：
解：根据对称性，可得球心O到正三棱柱的底面的距离为1，
球心O在底面ABC上的射影为底面的中心O'，
则O'A=
×
×3=
，
由球的截面的性质，可得，OA2=OO'2+O'A2，
则有OA=
=
=2，
则球O的体积为
π•OA3=
π．
故答案为：
球心O在底面ABC上的射影为底面的中心O'，
则O'A=
| ||
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
由球的截面的性质，可得，OA2=OO'2+O'A2，
则有OA=
| OO′2+O′A2 |
| 1+3 |
则球O的体积为
| 4 |
| 3 |
| 32 |
| 3 |
故答案为：
| 32π |
| 3 |
点评：本题考查球的截面的性质，考查球与正三棱柱的关系，考查球的体积运算，属于中档题．
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