Question

某人造卫星在地球赤道平面绕地球飞行，甲、乙两个监测点分别位于赤道上东经131°和147°，在某时刻测得甲监测点到卫星的距离为1537.45 千米，乙监测点到卫星的距离为887.64 千米．假设地球赤道是一个半径为6378千米的圆，求此时卫星所在位置的高度（结果精确到0.01 千米）和经度（结果精确到0.01°）．

Answer 1

考点：球面距离及相关计算

专题：解三角形

分析：设地球球心为O，甲、乙两个监测点分别为A，B，卫星位置为C，则O，A，B，C四点均在赤道面上，进而利用余弦定理解△OAB，△ABC，△OAC可得答案．

解答： 解：设地球球心为O，甲、乙两个监测点分别为A，B，卫星位置为C，
则O，A，B，C四点均在赤道面上，如下图所示：

故OA=OB=6378，AC=1537.45，BC=887.64，
在△OAB中，∠AOB=147°-131°=16°，
故∠OAB=∠OBA=82°，
故AB=

63782+63782-2•63782•cos16°

≈1875.50，
在△ABC中，cos∠CAB=

1537.452+1875.502-887.642

2×1537.45×1875.50

≈0.8832，
故∠CAB≈28°，
在△AOC中，∠CAO=110°，
故OC=

63782+1537.452-2•6378•1537.45 •cos110°

≈7098.61，
∵7098.61-6378=720.61，
故卫星所在位置的高度约为720.61千米；
cos∠AOC=

63782+71098.612-1537.452

2×6378×71098.61

≈0.9796，
∴∠AOC≈11.6°，
由131°+11.6°=142.6°，
故卫星所在位置的经度约为142.6°．

点评：本题考查的知识点余弦定理，但本题所涉及的数据计算起来太复杂，故不建议运算，只了解运算思路即可．