Question

已知椭圆

x2

4

+

y2

3

=1上存在两点A、B关于直线y=4x+m对称，求m的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：假设存在实数m，使得在此椭圆C上存在不同两点关于直线y=4x+m对称．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点M（x₀，y₀），因为在此椭圆C上存在不同两点关于直线y=4x+m对称，所以k_AB=

y2-y1

x2-x1

=-

1

4

，再用点差法进行求解．

解答： 解：存在实数m，使得在此椭圆C上存在不同两点关于直线y=4x+m对称．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点M（x₀，y₀），
∵在此椭圆C上存在不同两点关于直线y=4x+m对称，
∴K_AB=

y2-y1

x2-x1

=-

1

4

，
∵3x₁²+4y₁²=12，3x₂²+4y₂²=12，
相减得3（x₂²-x₁²）+4（y₂²-y₁²）=0，即y₁+y₂=3（x₁+x₂），
∴y₀=3x₀，3x₀=4x₀+m，x₀=-m，y₀=-3m
而M（x₀，y₀）在椭圆内部，则

m2

4

+

9m2

3

＜1，即-

2 13

13

＜m＜

2 13

13

．
故存在实数m∈（-

2 13

13

，

2 13

13

），使得在此椭圆C上存在不同两点关于直线y=4x+m对称．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，综合性强，难度大，具有一定的探索性，对数学思维的要求较高．解题时要注意等价转化思想的合理运用．