Question

已知：AO⊥平面OBC，A-BC-O的平面角为α．求证：cosα=

S△OBC

S△ABC

．并类比平面直角三角形ABC（C为斜边），cosA=

a

c

．写出你的解题反思或解题感悟．

Answer 1

考点：类比推理

专题：空间角

分析：本题通过作出二面角的平面角，实现立体问题的平面化研究，从而降低了难度，将问题转化为平面内的问题，三角函数问题与面积问题，进行计算得到本题结论．反思类比的条件和结论，得到本题结论．

解答： （1）证明：过点O作BC边所在直线的垂线，垂足为H，连结OH、AH，
∵AO⊥平面OBC，
∴AO⊥BC，
∵OH⊥BC，
∴BC⊥平面OAH，
∴BC⊥AH，
∴∠AHO为二面角A-BC-O的平面角，
∴∠AHO=α．
在△AOH中，cosα=cos∠AHO=

OH

AH

，
∵

S△OBC

S△ABC

=

1 2 ×BC×OH

1 2 ×BC×AH

=

OH

AH

，
∴cosα=

S△OBC

S△ABC

．
（2）在△AOH中，有cos∠AHO=

OH

AH

，
在空间四边形AOBC中，有cosα=

S△OBC

S△ABC

．
感悟：
两个结论的前提都是有垂直条件的存在，一个是在线线垂直条件下，一个是在线面垂直条件下，
结论是由平面图形拓展为立体图形，角由线线角拓展成了面面角，由线线比，拓展成了面积比．
另一方面，面是由线组成的，其结论与祖暅原理也在类似之处．

点评：本题考查了立体几何的二面角的计算公式的证明，还考查了类比的思想，本题有一定的思维难度，有点开放性，属于好题．