Question

14．已知命题p：x²-4x+3＜0与q：x²-6x+8＜0；若“p且q”是不等式2x²-9x+a＜0成立的充分条件，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （9，+∞）
• B． {0}
• C． （-∞，9]
• D． （0，9]

Answer 1

分析 分别化简：命题p：x²-4x+3＜0．q：x²-6x+8＜0．由p∧q可得：2＜x＜3．若“p且q”是不等式2x²-9x+a＜0成立的充分条件，可得a＜（-2x²+9x）_min，利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：命题p：x²-4x+3＜0，解得1＜x＜3．
q：x²-6x+8＜0，解得2＜x＜4；
由p∧q可得：$\left\{\begin{array}{l}{1＜x＜3}\\{2＜x＜4}\end{array}\right.$，解得2＜x＜3．
若“p且q”是不等式2x²-9x+a＜0成立的充分条件，
∴a＜（-2x²+9x）_min，
令f（x）=-2x²+9x=-2$（x-\frac{9}{4}）^{2}$+$\frac{81}{8}$，x∈（2，3）．
则f（x）≤f（3）=9．
∴实数a的取值范围是（-∞，9]．
故选：C．

点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法、函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．