Question

5．已知函数f（x）=lnx-a（x-1），g（x）=e^x-x，a∈R．求f（x）的单调区间和g（x）的极值．

Answer 1

分析 先求函数f（x）的导函数f′（x），并确定函数的定义域，再解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可分别求得函数f（x）的单调增区间和单调减区间，由于导函数中含有参数a，故为解不等式的需要，需讨论a的正负；
求出g（x）的导数，得到g（x）的单调区间，从而求出g（x）的极小值即可．

解答 解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），
求导数，得f′（x）=$\frac{1}{x}$-a=$\frac{1-ax}{x}$，
①若a≤0，则f′（x）＞0，f（x）是（0，+∞）上的增函数，
②若a＞0，令f′（x）=0，得x=$\frac{1}{a}$，
当x∈（0，$\frac{1}{a}$）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，
当x∈（$\frac{1}{a}$，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数；
综上所述，当a≤0时，f（x）的递增区间为（0，+∞），当a＞0时，f（x）的递增区间为（0，$\frac{1}{a}$），递减区间为（$\frac{1}{a}$，+∞）．
g′（x）=e^x-1，令g′（x）＞0，解得：x＞0，令g′（x）＜0，解得：x＜0，
∴g（x）在（-∞，0）递减，在（0，+∞）递增，
∴g（x）_极小值=g（0）=1．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．