题目内容
17.如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC＝90°，SA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，
AD＝
.
Ⅰ.求四棱锥S-ABCD的体积；
Ⅱ.求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.
17.本小题考查线面关系和棱锥体积计算，以及空间想象能力和逻辑推理能力.
解：Ⅰ.直角梯形ABCD的面积是M底面＝(BC＋AD)·AB＝
＝
，
所以四棱锥S-ABCD的体积是V＝
×SA×M底面＝
×1×
＝
.
Ⅱ.延长BA、CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角的棱.
因为AD∥BC，BC＝2AD，
所以EA＝AB＝SA，所以SE⊥SB，
因为SA⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交线，
又BC⊥EB，所以BC⊥面SEB，
故SB是CS在面SEB上的射影，
所以CS⊥SE，
所以∠BSC是所求二面角的平面角.
因为SB＝
＝
，BC＝1，BC⊥SB，
所以tanBSC＝
＝
.
即所求二面角的正切值为
.
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