Question

如图，在底面是直角梯形的四棱锥    P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=4．AD=2，AB=2

3

，BC=6．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的余弦值．

Answer 1

分析：解法一：（Ⅰ）根据PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，可得BD⊥PA．又可证BD⊥AC，利用线面垂直的判定定理，我们可证BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）过E作EF⊥PC，垂足为F，连接DF，则∠EFD为二面角A-PC-D的平面角．在Rt△EFD中，我们可求二面角A-PC-D的余弦值为

9

93

93

．
解法二：（Ⅰ）建立空间坐标系，利用向量的数量积，我们可以证明BD⊥AP，BD⊥AC，利用线面垂直的判定定理，我们可证BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）设平面PCD的法向量为

n

=(x，y，1)，利用

CD

•

n

=0，

PD

•

n

 =0，可得

n

=(-

4

3

3

，2，1)，平面PAC的法向量取为

m

=

BD

=(-2

3

，2，0)，利用cos＜

n

，

BD

＞=

n • BD

| n || BD |

，我们可求二面角A-PC-D的余弦值．

解答：解法一：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PA．
又tan∠ABD=

AD

AB

=

3

3

，tan∠BAC=

BC

AB

=

3

，
∴∠ABD=30，°∠BAC=60°
∴∠AEB=90°，即BD⊥AC   
又PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）过E作EF⊥PC，垂足为F，连接DF，
∵DE⊥平面PAC，EF是DF在平面PAC上的射影，由三垂线定理知PC⊥DF，
∴∠EFD为二面角A-PC-D的平面角．
又∠DAC=90°-∠BAC=30°
∴DE=ADsin∠DAC=1，AE=ABsin∠ABE=

3

，
又AC=4

3

，
∴EC=3

3

，PC=8．
由Rt△EFC∽Rt△PAC得EF=

PA•EC

PC

=

3 3

2

在Rt△EFD中，tan∠EFD=

DE

EF

=

2 3

9

，
∴cos∠EFD=

9

93

93

．
∴二面角A-PC-D的余弦值为

9

93

93

．
解法二：（Ⅰ）如图，建立坐标系，则A（0，0，0），B（2

3

，0，0），C(2

3

，6，0)，D（0，2，0），P（0，0，4）
∴

AP

=(0，0，4)，

AC

=(2

3

，6，0)，

BD

=(-2

3

，2，0)
∴

BD

•

AP

=0，

BD

•

AC

=0，
∴BD⊥AP，BD⊥AC，又PA∩AC=A
∴BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）设平面PCD的法向量为

n

=(x，y，1)，
则

CD

•

n

=0，

PD

•

n

 =0，
又

CD

=(-2

3

，-4，0)，

PD

=(0，2，-4)，
∴

-2 3 x-4y=0 2y-4=0

，解得

x=- 4 3 3 y=2

∴

n

=(-

4

3

3

，2，1)    
平面PAC的法向量取为

m

=

BD

=(-2

3

，2，0)
∴cos＜

n

，

BD

＞=

n • BD

| n ||  BD |

=

12

31 3 ×4

=

9

93

=

9

93

93

∴二面角A-PC-D的余弦值为

9

93

93

．

点评：本题以四棱锥为载体，考查线面垂直，考查面面角，采用两种解法，体现了一题多解，又体现了向量解法的优越性．