题目内容
如图，在底面是直角梯形的四棱锥 P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=4．AD=2，AB=2| 3 |
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的余弦值．
分析：解法一：（Ⅰ）根据PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，可得BD⊥PA．又可证BD⊥AC，利用线面垂直的判定定理，我们可证BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）过E作EF⊥PC，垂足为F，连接DF，则∠EFD为二面角A-PC-D的平面角．在Rt△EFD中，我们可求二面角A-PC-D的余弦值为
．
解法二：（Ⅰ）建立空间坐标系，利用向量的数量积，我们可以证明BD⊥AP，BD⊥AC，利用线面垂直的判定定理，我们可证BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）设平面PCD的法向量为
=(x，y，1)，利用
•
=0，
•
=0，可得
=(-
，2，1)，平面PAC的法向量取为
=
=(-2
，2，0)，利用cos＜
，
＞=
，我们可求二面角A-PC-D的余弦值．
（Ⅱ）过E作EF⊥PC，垂足为F，连接DF，则∠EFD为二面角A-PC-D的平面角．在Rt△EFD中，我们可求二面角A-PC-D的余弦值为
| 9 |
| 93 |
| 93 |
解法二：（Ⅰ）建立空间坐标系，利用向量的数量积，我们可以证明BD⊥AP，BD⊥AC，利用线面垂直的判定定理，我们可证BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）设平面PCD的法向量为
| n |
| CD |
| n |
| PD |
| n |
| n |
| 4 |
| 3 |
| 3 |
| m |
| BD |
| 3 |
| n |
| BD |
| ||||
|
|
解答：
解法一：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PA．
又tan∠ABD=
=
，tan∠BAC=
=
，
∴∠ABD=30，°∠BAC=60°
∴∠AEB=90°，即BD⊥AC
又PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）过E作EF⊥PC，垂足为F，连接DF，
∵DE⊥平面PAC，EF是DF在平面PAC上的射影，由三垂线定理知PC⊥DF，
∴∠EFD为二面角A-PC-D的平面角．
又∠DAC=90°-∠BAC=30°
∴DE=ADsin∠DAC=1，AE=ABsin∠ABE=
，
又AC=4
，
∴EC=3
，PC=8．
由Rt△EFC∽Rt△PAC得EF=
=
在Rt△EFD中，tan∠EFD=
=
，
∴cos∠EFD=
．
∴二面角A-PC-D的余弦值为
．
解法二：（Ⅰ）如图，建立坐标系，则A（0，0，0），B（2
，0，0），C(2
，6，0)，D（0，2，0），P（0，0，4）
∴
=(0，0，4)，
=(2
，6，0)，
=(-2
，2，0)
∴
•
=0，
•
=0，
∴BD⊥AP，BD⊥AC，又PA∩AC=A
∴BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）设平面PCD的法向量为
=(x，y，1)，
则
•
=0，
•
=0，
又
=(-2
，-4，0)，
=(0，2，-4)，
∴
，解得
∴
=(-
，2，1)
平面PAC的法向量取为
=
=(-2
，2，0)
∴cos＜
，
＞=
=
=
=
∴二面角A-PC-D的余弦值为
．
解法一：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PA．又tan∠ABD=
| AD |
| AB |
| ||
| 3 |
| BC |
| AB |
| 3 |
∴∠ABD=30，°∠BAC=60°
∴∠AEB=90°，即BD⊥AC
又PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）过E作EF⊥PC，垂足为F，连接DF，
∵DE⊥平面PAC，EF是DF在平面PAC上的射影，由三垂线定理知PC⊥DF，
∴∠EFD为二面角A-PC-D的平面角．
又∠DAC=90°-∠BAC=30°
∴DE=ADsin∠DAC=1，AE=ABsin∠ABE=
| 3 |
又AC=4
| 3 |
∴EC=3
| 3 |
由Rt△EFC∽Rt△PAC得EF=
| PA•EC |
| PC |
3
| ||
| 2 |
在Rt△EFD中，tan∠EFD=
| DE |
| EF |
2
| ||
| 9 |
∴cos∠EFD=
| 9 |
| 93 |
| 93 |
∴二面角A-PC-D的余弦值为
| 9 |
| 93 |
| 93 |
解法二：（Ⅰ）如图，建立坐标系，则A（0，0，0），B（2
| 3 |
| 3 |
∴
| AP |
| AC |
| 3 |
| BD |
| 3 |
∴
| BD |
| AP |
| BD |
| AC |
∴BD⊥AP，BD⊥AC，又PA∩AC=A
∴BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）设平面PCD的法向量为
| n |
则
| CD |
| n |
| PD |
| n |
又
| CD |
| 3 |
| PD |
∴
|
|
∴
| n |
| 4 |
| 3 |
| 3 |
平面PAC的法向量取为
| m |
| BD |
| 3 |
∴cos＜
| n |
| BD |
| ||||
|
|
| 12 | ||||
|
| 9 | ||
|
| 9 |
| 93 |
| 93 |
∴二面角A-PC-D的余弦值为
| 9 |
| 93 |
| 93 |
点评：本题以四棱锥为载体，考查线面垂直，考查面面角，采用两种解法，体现了一题多解，又体现了向量解法的优越性．
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