Question

在等比数列{an}中,an>0(n∈N*),公比q∈(0,1),且a1a5+2a3a5+a2a8=25,又a3与a5的等比中项为2.

(1) 求数列{an}的通项公式;

(2) 设bn=log2an,求数列{bn}的前n项和Sn;

(3) 是否存在k∈N*,使得++…+<k对任意n∈N*恒成立?若存在,求出k的最小值;若不存在,请说明理由.

Answer 1

 (1) 因为a1a5+2a3a5+a2a8=25,{an}为等比数列,

所以+2a3a5+=25,所以(a3+a5)2=25.

又an>0,所以a3+a5=5,又a3与a5的等比中项为2,

所以a3a5=4,而q∈(0,1),

所以a3>a5,所以a3=4,a5=1,所以q=,a1=16,

所以an=16×=25-n.

(2) 因为bn=log2an=log225-n5-n,

所以-bn=-1,b1=log2a1=log216=log224=4.

所以{bn}是以4为首项、-1为公差的等差数列,所以Sn=.

(3) 由(2)知Sn=,所以=.

当n≤8时,>0;当n=9时,=0;当n>9时,<0.

所以当n=8或9时,+++…+=18最大.

故存在k∈N*,使得++…+<k对任意n∈N*恒成立,k的最小值为19.