Question

试比较2n+2与n2的大小(n∈N*),并用数学归纳法证明你的结论.

Answer 1

当n=1时,21+2=4>n2=1;

当n=2时,22+2=6>n2=4;

当n=3时,23+2=10>n2=9;

当n=4时,24+2=18>n2=16.

由此可以猜想,2n+2>n2(n∈N*)成立.

下面用数学归纳法证明:

(1) 当n=1时,左边=21+2=4,右边=1,左边>右边,所以原不等式成立;

当n=2时,左边=22+2=6,

右边=22=4,左边>右边;

当n=3时,左边=23+2=10,右边=32=9,左边>右边.

(2) 假设n=k(k≥3且k∈N*)时,不等式成立,

即2k+2>k2.那么当n=k+1时,

2k+1+2=2·2k+2=2(2k+2)-2>2·k2-2.

又因为2k2-2-(k+1)2=k2-2k-3=(k-3)(k+1)≥0,

即2k2-2≥(k+1)2,故2k+1+2>(k+1)2成立.

根据(1)和(2),可知原不等式对于任何n∈N*都成立.