Question

14．各项均为正数的等比数列{a_n}满足a₂=3，a₄-2a₃=9，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=（n+1）•log₃a_n+1，数列$\left\{{\frac{1}{b_n}}\right\}$前n项和$T_n^{\;}$，在（1）的条件下，证明不等式T_n＜1．

Answer 1

分析 （1）根据等比数列的定义，列出关于q的方程组，求出公比q，再求出首项，即可得到数列{a_n}的通项公式，
（2）根据对数的运算性质得到b_n=n（n+1），再根据裂项求和，再放缩即可证明．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，由$\left\{\begin{array}{l}{a_4}-2{a_3}=9\\{a_2}=3\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{a_2}（{q^2}-2q）=9\\{a_2}=3\end{array}\right.$，
解得q=3或q=-1，∵数列{a_n}为正项数列，∴q=3，
∴首项${a_1}=\frac{a_2}{q}=1$，∴${a_n}={3^{n-1}}$；
（2）证明：由（1）得${b_n}=（n+1）•{log_3}{a_{n+1}}=（n+1）{log_3}{3^n}=n（n+1）$，
∴$\frac{1}{b_n}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
∴${T_n}=\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+…+\frac{1}{b_n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}＜1$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式和对数的运算性质，以及裂项求和，利用放缩法证明不等式，属于中档题