Question

15．已知正三棱锥D-ABC侧棱两两垂直，E为棱AD中点，平面α过点A，且α∥平面EBC，α∩平面ABC=m，α∩平面ACD=n，则m，n所成角的余弦值是$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 利用面面平行的性质可得m∥BC，n∥CE，故∠BCE即为所求角，设棱锥侧棱长为1，利用余弦定理计算cos∠BCE．

解答 解：∵α∥平面EBC，α∩平面ABC=m，平面EBC∩平面ABC=BC，
∴m∥BC，
同理可得：n∥CE，
∴∠BCE为直线m，n所成的角．
设正三棱锥的侧棱为1，则BC=$\sqrt{2}$，CE=BE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
在△BCE中，由余弦定理得：cos∠BCE=$\frac{\frac{5}{4}+2-\frac{5}{4}}{2•\frac{\sqrt{5}}{2}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．

点评 本题考查了面面平行的性质，空间角的计算，属于中档题．