Question

8．在平面直角坐标系xOy中，角θ的终边经过点P（x，1）（x≥1），则cosθ+sinθ的取值范围是（1，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 法一：直接利用任意角的三角函数结合不等式的性质，求解即可．
法二：利用辅助角公式化简结合三角函数的性质，求解即可．

解答 解：法一：
角θ的终边经过点P（x，1）（x≥1），
∴r=$\sqrt{{x}^{2}+1}$，
cosθ=$\frac{x}{r}$=$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$．sinθ=$\frac{y}{r}$=$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$，
∴cosθ+sinθ=$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$=$\frac{x+1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$=$\sqrt{\frac{（x+1）^{2}}{{x}^{2}+1}}$=$\sqrt{\frac{{x}^{2}+2x+1}{{x}^{2}+1}}$=$\sqrt{1+\frac{2x}{{x}^{2}+1}}$=$\sqrt{1+\frac{2}{x+\frac{1}{x}}}$．
∵$x+\frac{1}{x}≥2$，当且仅当x=1时取等号．
$\frac{2}{x+\frac{1}{x}}＞0$，
∴1＜cosθ+sinθ≤$\sqrt{2}$．
故得cosθ+sinθ的取值范围是（1，$\sqrt{2}$]．
法二：由题意，令f（θ）=cosθ+sinθ=$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$），
当θ=$\frac{π}{4}$时，f（θ）取得最大值为$\sqrt{2}$，此时P（1，1）．
∵x≥1，
∴0＜tanθ=$\frac{y}{x}≤1$，即$0＜θ≤\frac{π}{4}$，
∴sin（$θ+\frac{π}{4}$）∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}，1$]．
得cosθ+sinθ的取值范围是（1，$\sqrt{2}$]．
故答案为：（1，$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查任意角的三角函数的定义的运用，基本知识的考查．