题目内容
6．
某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．| 晋级成功 | 晋级失败 | 合计 | |
| 男 | 16 | ||
| 女 | 50 | ||
| 合计 |
（Ⅱ）根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？
（Ⅲ）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X，求X的分布列与数学期望E（X）．
（参考公式：${k^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）
| P（K2≥k0） | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 |
| k0 | 0.780 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
分析 （Ⅰ）由频率和为1，列出方程求a的值；
（Ⅱ）由频率分布直方图求出晋级成功的频率，计算晋级成功的人数，
填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；
（Ⅲ）由频率分布直方图知晋级失败的频率，将频率视为概率，
知随机变量X服从二项分布，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望；
解答 解：（Ⅰ）由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，
可知（2a+0.020+0.030+0.040）×10=1，
解得a=0.005；
（Ⅱ）由频率分布直方图知，晋级成功的频率为0.20+0.05=0.25，
所以晋级成功的人数为100×0.25=25（人），
填表如下：
| 晋级成功 | 晋级失败 | 合计 | |
| 男 | 16 | 34 | 50 |
| 女 | 9 | 41 | 50 |
| 合计 | 25 | 75 | 100 |
根据上表数据代入公式可得${K^2}=\frac{{100×{{（16×41-34×9）}^2}}}{25×75×50×50}≈2.613＞2.072$，
所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关；
（Ⅲ）由频率分布直方图知晋级失败的频率为1-0.25=0.75，
将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，
这人晋级失败的概率为0.75，
所以X可视为服从二项分布，即$X～B（4，\frac{3}{4}）$，
$P（X=k）=C_4^k{（\frac{3}{4}）^k}{（\frac{1}{4}）^{4-k}}（k=0，1，2，3）$，
故$P（X=0）=C_4^0{（\frac{3}{4}）^0}{（\frac{1}{4}）^4}=\frac{1}{256}$，
$P（X=1）=C_4^1{（\frac{3}{4}）^1}{（\frac{1}{4}）^3}=\frac{3}{64}$，
$P（X=2）=C_4^2{（\frac{3}{4}）^2}{（\frac{1}{4}）^2}=\frac{54}{256}$，
$P（X=3）=C_4^3{（\frac{3}{4}）^3}{（\frac{1}{4}）^1}=\frac{108}{256}$，
$P（X=4）=C_4^4{（\frac{3}{4}）^4}{（\frac{1}{4}）^0}=\frac{81}{256}$，
所以X的分布列为
| X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| P（X=k） | $\frac{1}{256}$ | $\frac{3}{64}$ | $\frac{54}{256}$ | $\frac{108}{256}$ | $\frac{81}{256}$ |
或（$E（X）=\frac{1}{256}×0+\frac{3}{64}×1+\frac{54}{256}×2+\frac{108}{256}×3+\frac{81}{256}×4=3$）．
点评 本题考查了频率分布直方图与独立性检验和离散型随机变量的分布列、数学期望的应用问题，是中档题．
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