Question

3．定义域为{x|x∈N^*，1≤x≤12}的函数f（x）满足|f（x+1）-f（x）|=1（x=1，2，…11），且f（1），f（4），f（12）成等比数列，若f（1）=1，f（12）=4，则满足条件的不同函数的个数为176．

Answer 1

分析 根据题意，由|f（x+1）-f（x）|=1分析可得必有在f（x+1）-f（x）=1和f（x+1）-f（x）=-1中，必须且只能有1个成立，由等比数列的性质求得f（4）=±2，进而分2种情况讨论，①、若f（4）=-2，分析可得在1≤x≤3中，f（x+1）-f（x）=-1都成立，在4≤x≤11中，有1个f（x+1）-f（x）=-1，7个f（x+1）-f（x）=1成立，②、若f（4）=2，在1≤x≤3中，有1个f（x+1）-f（x）=-1成立，2个f（x+1）-f（x）=1成立，在4≤x≤11中，有3个f（x+1）-f（x）=-1，5个f（x+1）-f（x）=1成立；由乘法原理计算可得每种情况的函数数目，由分类计数原理计算可得答案．

解答 解：根据题意，若|f（x+1）-f（x）|=1，则f（x+1）-f（x）=1和f（x+1）-f（x）=-1中，
必须且只能有1个成立，
若f（1）=1，f（12）=4，且f（1），f（4），f（12）成等比数列，
则f（4）=±2，
分2种情况讨论：
①、若f（4）=-2，
在1≤x≤3中，f（x+1）-f（x）=-1都成立，
在4≤x≤11中，有1个f（x+1）-f（x）=-1，7个f（x+1）-f（x）=1成立，
则有C₈¹=8种情况，即有8个不同函数；
②、若f（4）=2，
在1≤x≤3中，有1个f（x+1）-f（x）=-1成立，2个f（x+1）-f（x）=1成立，有C₃¹=3种情况，
在4≤x≤11中，有3个f（x+1）-f（x）=-1，5个f（x+1）-f（x）=1成立，有C₈³=56种情况，
则有3×56=168种情况，即有168个不同函数；
则一共有8+168=176个满足条件的不同函数；
故答案为：176．

点评 本题考查排列、组合的综合应用，涉及函数的定义以及函数值的计算，关键是将函数值的问题转化为排列、组合问题．