Question

10．已知直线$l：y=\sqrt{3}x-2\sqrt{3}$过椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的右焦点F₂，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在直线$x=\frac{a^2}{c}$（其中2c为焦距）上，直线m过椭圆左焦点F₁交椭圆C于M、N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=\frac{2λ}{tan∠MON}≠0$（O为坐标原点），当直线m绕点F₁转动时，求λ的最大值．

Answer 1

分析 （1）当y=0，即可求得交点坐标，由原点关于l的对称点为（x，y），列方程即可求得x值，则$\frac{a^2}{c}=3$，即可求得a的值，则b²=a²-c²=2，即可求得椭圆方程；
（2）设直线m的方程，代入椭圆方程，由题意可知根据向量的数量积，即可求得λ的表达式，利用韦达定理及基本不等式的性质，即可求得λ的最大值．

解答 解：（1）由直线$l：y=\sqrt{3}x-2\sqrt{3}$，令y=0，解得x=2，可得c=2，
即椭圆的焦点为（±2，0），
设原点关于l的对称点为（x，y），则$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{y}{x}=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}}\\{\frac{y}{2}=\sqrt{3}（\frac{x}{2}-2）}\end{array}}\right.$，
解得x=3，即$\frac{a^2}{c}=3$，可得a²=6，则b²=a²-c²=2，
∴椭圆的方程为$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$；
（2）由（1）椭圆的焦点为（±2，0），设直线m：x=ty-2，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{x=ty-2}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3+t²）y²-4ty-2=0，
则y₁+y₂=$\frac{4t}{{3+t}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{2}{3+{t}^{2}}$，
$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=\frac{2λ}{tan∠MON}≠0$，可得$\frac{1}{2}|\overrightarrow{OM}|•|\overrightarrow{ON}|sin∠MON=λ$，
即有$λ={S_{△MON}}=\frac{1}{2}|O{F_1}|•|{y_1}-{y_2}|$=$|{y_1}-{y_2}|=\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}$，
=$\sqrt{\frac{{16{t^2}}}{{{{（3+{t^2}）}^2}}}+\frac{8}{{3+{t^2}}}}$，
=$\frac{{2\sqrt{6}\sqrt{1+{t^2}}}}{{3+{t^2}}}=\frac{{2\sqrt{6}}}{{\sqrt{1+{t^2}}+\frac{2}{{\sqrt{1+{t^2}}}}}}＜$$\frac{{2\sqrt{6}}}{{2\sqrt{2}}}=\sqrt{3}$，
当且仅当$\sqrt{1+{t^2}}=\frac{2}{{\sqrt{1+{t^2}}}}$，即t=±1时，S取得最大值$\sqrt{3}$．
则有λ的最大值为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．