Question

12．已知函数f（x）=2sin$\frac{ωx}{2}$（$\sqrt{3}$cos$\frac{ωx}{2}$-sin$\frac{ωx}{2}$）（ω＞0）的最小正周期为3π．
（Ⅰ）求ω的值和函数f（x）在区间$[{-π，\frac{3π}{4}}]$上的最大值和最小值；
（Ⅱ）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2$\sqrt{3}$，c=4，且f（$\frac{3}{2}$A）=1，求b和△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过函数的周期，求出ω，写出函数解析式，x∈$[{-π，\frac{3π}{4}}]$，求出函数的单调区间，即可求得函数的最大值和最小值；
（Ⅱ）f（$\frac{3}{2}$A）=1，化简整理得：sin（A+$\frac{π}{6}$）=1，求出角A，根据余弦定理求出b的值，三角形面积公式S=$\frac{1}{2}$bcsinA，求得S．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=2$\sqrt{3}$sin$\frac{ωx}{2}$cos$\frac{ωx}{2}$-2sin²$\frac{ωx}{2}$
=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx-1
=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）-1，…（3分）
∴$\frac{2π}{ω}$=3π，∴ω=$\frac{2}{3}$．
∴f（x）=2sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{6}$）-1，…（5分）
∵x∈$[{-π，\frac{3π}{4}}]$，
∴f（x）在区间[-π，$\frac{π}{2}$]单调递增，在区间[$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$]单调递减，
f（-π）=2sin（-$\frac{π}{2}$）-1=-3，f（$\frac{π}{2}$）=2sin$\frac{π}{2}$-1=1，f（$\frac{3π}{4}$）=2sin$\frac{2π}{3}$-1=$\sqrt{3}$-1，
因此f（x）在区间$[{-π，\frac{3π}{4}}]$上的最大值为1，最小值为-3．     …（8分）
（Ⅱ）∵f（$\frac{3}{2}$A）=2sin（A+$\frac{π}{6}$）-1=1，
∴sin（A+$\frac{π}{6}$）=1，
又∵0≤A≤π，
∴A=$\frac{π}{3}$，…（10分）
∵a=2$\sqrt{3}$，c=4，
∴由余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA得12=b²+16-4b，
即b²-4b+4=0，∴b=2，…（12分）
从而△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA=2$\sqrt{3}$．                   …（13分）

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用与余弦定理相结合，正弦函数的周期性、单调性及最值的应用，求出f（x）的解析式是解决这类问题的关键，属于中档题．