Question

4．若直线ax-by+1=0平分圆C：x²+y²+2x-4y+1=0的周长，则ab的取值范围是$（-∞，\frac{1}{8}]$．

Answer 1

分析 依题意知直线ax-by+1=0过圆C的圆心（-1，2），故有a+2b=1，再利用ab=（1-2b）b之和为 二次函数的最值，求得ab的取值范围．

解答 解：∵直线ax-by+1=0平分圆C：x²+y²+2x-4y+1=0的周长，
∴直线ax-by+1=0过圆C的圆心（-1，2），
∴有a+2b=1，
∴ab=（1-2b）b=-2（b-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{1}{8}$≤$\frac{1}{8}$，
∴ab的取值范围是（-∞，$\frac{1}{8}$]．
故答案为：$（-∞，\frac{1}{8}]$．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系，配方法的应用，属于中档题．