Question

17．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+2sin²x．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移$\frac{π}{12}$个单位，再向下平移1个单位后得到函数g（x）的图象，当x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]时，求函数g（x）的值域．

Answer 1

分析 利用倍角公式降幂后再由两角差的正弦化简．
（Ⅰ）由相位在正弦函数的增区间内求得x的取值范围可得函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）由函数的伸缩和平移变换求得g（x）的解析式，结合x的范围求得相位的范围，进一步求得函数g（x）的值域．

解答 解：f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+2sin²x=$\sqrt{3}sin2x+1-cos2x$=$2（\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x）+1=2sin（2x-\frac{π}{6}）+1$．
（Ⅰ）由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，解得$-\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{π}{3}+kπ，k∈Z$．
∴函数f（x）的单调增区间为[$-\frac{π}{6}+kπ，\frac{π}{3}+kπ$]，k∈Z；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移$\frac{π}{12}$个单位，
得y=2sin[2（x$+\frac{π}{12}$）-$\frac{π}{6}$]+1=2sin2x+1．
再向下平移1个单位后得到函数g（x）=2sin2x．
由x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，得2x∈[$-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}$]，
∴sin2x∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}，1$]，
则函数g（x）的值域为[-$\sqrt{3}，2$]．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查y=Acos（ωx+φ）型函数的图象和性质，属中档题．