Question

7．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$sinωxcosωx-2cos²ωx+1（ω＞0）的图象上两个相邻的最高点之间的距离为π．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若f（θ）=$\frac{2}{3}$，求cos（$\frac{π}{3}$-4θ）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由二倍角公式和辅助角公式化简，由图象上两个相邻的最高点之间的距离为π，即可得到ω，由此得到单调增区间．
（Ⅱ）由f（θ）=$\frac{2}{3}$，得到$sin（2θ-\frac{π}{6}）=\frac{1}{3}$．由此由二倍角公式得到结果．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=2\sqrt{3}sinωxcosωx-2{cos^2}ωx+1$
=$\sqrt{3}（2sinωxcosωx）-（2{cos^2}ωx-1）$=$\sqrt{3}sin2ωx-cos2ωx$=$2sin（2ωx-\frac{π}{6}）$．
由题意知，函数f（x）的最小正周期为π，
则$\frac{2π}{2ω}=π$，故ω=1．
所以f（x）=$2sin（2x-\frac{π}{6}）$，
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$，
得$kπ-\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{π}{3}（k∈Z）$，
所以函数f（x）的单调递增区间为$[kπ-\frac{π}{6}，kπ+\frac{π}{3}]（k∈Z）$．
（Ⅱ）由f（x）=$2sin（2x-\frac{π}{6}）$，
$f（θ）=\frac{2}{3}$，得$sin（2θ-\frac{π}{6}）=\frac{1}{3}$．
$cos（\frac{π}{3}-4θ）=cos（4θ-\frac{π}{3}）=cos2（2θ-\frac{π}{6}）=1-2{sin^2}（2θ-\frac{π}{6}）=1-2×\frac{1}{9}=\frac{7}{9}$．

点评 本题考查由二倍角公式和辅助角公式，以及数形结合，即可得到ω．