Question

已知下列四个命题：
①若一个圆锥的底面半径缩小到原来的

1

2

，其体积缩小到原来的

1

4

；
②若两组数据的中位数相等，则它们的平均数也相等；
③直线x+y+1=0与圆x²+y²=

1

2

相切；
④“10^a≥10^b”是“lga≥lgb”的充分不必要条件；
⑤过M（2，0）的直线l与椭圆

x2

2

+y²=1交于P₁P₂两点，线段P₁P₂中点为P，设直线l的斜率为k₁（k₁≠0），直线OP的斜率为k₂，则k₁k₂等于-

1

2

．
其中真命题的序号是：

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题,简易逻辑

分析：①一个圆锥的底面半径缩小到原来的

1

2

，则圆锥的底面积就缩小到原来的

1

4

，利用圆锥的体积公式，可得结论；
②若两组数据的中位数相等，根据平均数的计算公式，它们的平均数不一定相等；
③圆心到直线的距离为d=

1

2

=

2

2

，即可判断；
④“10^a≥10^b”，可以得出a≥b，不可以得出“lga≥lgb”，反过来，“lga≥lgb”，可得a≥b＞0，∴“10^a≥10^b”；
⑤设点，代入椭圆方程，利用点差法，结合线段P₁P₂的中点为P，即可得到结论．

解答： 解：①一个圆锥的底面半径缩小到原来的

1

2

，则圆锥的底面积就缩小到原来的

1

4

，又圆锥的体积=

1

3

×底面积×高，根据积的变化规律可得，体积缩小到原来的

1

4

，故①正确；
②若两组数据的中位数相等，根据平均数的计算公式，它们的平均数不一定相等，故②不正确；
③∵圆心到直线的距离为d=

1

2

=

2

2

，∴直线x+y+1=0与圆x²+y²=

1

2

相切，故③正确；
④“10^a≥10^b”，可以得出a≥b，不可以得出“lga≥lgb”，反过来，“lga≥lgb”，可得a≥b＞0，∴“10^a≥10^b”，“10^a≥10^b”，是“lga≥lgb”的必要不充分条件；
⑤设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P（x，y），则x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，x₁²+2y₁²=2，x₂²+2y₂²=2，两式相减可得：（x₁-x₂）×2x+2（y₁-y₂）×2y=0，
∵直线l的斜率为k₁（k₁≠0），直线OP（O是原点）的斜率为k₂，
∴k₁k₂=-

1

2

，正确．
故答案为：①③⑤．

点评：本题考查命题的真假判断，考查直线与圆的位置关系，考查直线与椭圆的位置关系，综合性强．