Question

设[x]表示不超过实数x的最大整数，则方程[tanx]=2cos²x的解为

 

．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：已知等式右边利用二倍角的余弦函数公式化简，根据余弦函数的值域确定出范围，进而得到[tanx]的值为0，1，2，确定出x的值，即为方程的解．

解答： 解：∵2cos²x=1+cos2x，-1≤cos2x≤1，
∴2cos²x∈[0，2]，
当[tanx]=0时，cosx=0，即x=kπ+

π

2

（k∈Z），此时tanx无意义；
当[tanx]=1时，cosx=±

2

2

，可得x=kπ+

π

4

（k∈Z）；
当[tanx]=2时，cosx=±1，此时tanx=0，与假设矛盾，
则所求方程的解为{x|x=kπ+

π

4

（k∈Z）}．
故答案为：{x|x=kπ+

π

4

（k∈Z）}．

点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．