题目内容

【题目】某海域有两个岛屿，岛在岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线，曾有渔船在距岛、岛距离和为8海里处发出过鱼群。以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．

（1）求曲线的标准方程；

（2）某日，研究人员在两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同），两岛收到鱼群在处反射信号的时间比为，问你能否确定处的位置（即点的坐标）？

【答案】（1）；（2）点的坐标为或．

【解析】

试题分析：（1）运用题设直接求出的值即可获解；（2）借助题设条件建立方程组求解．

试题解析：（1）由题意知曲线是以为焦点且长轴长为8的椭圆，又，则，故，所以曲线的方程是．

（2）由于两岛收到鱼群发射信号的时间比为，因此设此时距两岛的距离分别比为，即鱼群分别距两岛的距离为5海里和3海里。

设，由，∴，

，解得，∴点的坐标为或

练习册系列答案
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【题目】水培植物需要一种植物专用营养液．已知每投放（且）个单位的营养液，它在水中释放的浓度（克/升）随着时间（天）变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于4（克/升）时，它才能有效．

（1）若只投放一次4个单位的营养液，则有效时间可能达几天？

（2）若先投放2个单位的营养液，3天后投放个单位的营养液．要使接下来的2天中，营养液能够持续有效，试求的最小值．

【题目】已知函数．

（1）当时，讨论的单调性；

（2）若对任意的，恒有成立，求实数的取值范围．

【题目】如图几何体是四棱锥，为正三角形，，，，且．

（1）求证：平面平面；

（2）是棱的中点，求证：平面；

（3）求二面角的平面角的余弦值．

【题目】某农科所对冬季昼夜温差大小与反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了月日至月日的每天昼夜温差与实验室每天每颗种子中的发芽数，得到如下数据：

日期

12月1日

12月2日

12月3日

12月4日

12月5日

温度x（℃）

10

11

13

12

8

发芽数y（颗）

23

25

30

26

16

设农科所确定的研究方案是：先从这组数据中选取组，用剩下的组数据求线性回归方程，再对被选取的组数据进行检验．

（1）求选取的组数据恰好是不相邻天数据的概率；

（2）若选取的是月日与月日的两组数据，请根据月日与月日的数据，求关于的线性回归方程；

（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？

（注：）

【题目】已知抛物线的顶点在原点,焦点在坐标轴上，点为抛物线上一点.

（1）求的方程；

（2）若点在上，过作的两弦与，若，求证: 直线过定点.

【题目】如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，,是上的点.

（1）求证: 平面平面；

（2）若是的中点，且二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.

【题目】设不等式组所表示的平面区域为，记内的整点个数为，（整点即横、纵坐标均为整数的点）

（1）计算的值；

（2）求数列的通项公式；

（3）记数列的前项和为，且，若对于一切的正整数，总有，求实数的取值范围.

【题目】设椭圆的焦点在轴上.

（1）若椭圆的焦距为1，求椭圆的方程；

（2）设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上第一象限内的点，直线交轴于点，并且.证明：当变化时，点在定直线上.

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