题目内容

【题目】设椭圆的焦点在轴上.

(1)若椭圆的焦距为1,求椭圆的方程;

(2)设分别是椭圆的左、右焦点,为椭圆上第一象限内的点,直线轴于点,并且.证明:当变化时,点在定直线上.

【答案】(1);(2)证明见解析.

【解析】

试题分析:(1)根据焦距为,解得,从而求得椭圆方程(2)设点的坐标为,利用直线的方程求得点的坐标,将坐标代入化简得,代入椭圆方程,求得,且,所以点在定直线上.

试题解析:

(1)依题意,,即

所以椭圆的方程为.............................2分

(2)设,其中

因为直线轴于点,所以

故直线的斜率,直线的斜率,.....................5分

直线的方程为点的坐标为

所以直线的斜率为,...........................8分

由于,所以

化简得..............................10分

因为为椭圆上第一象限内的点,将上式代入,得

,且,所以点在定直线上.........................12分

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