题目内容
【题目】设椭圆
的焦点在
轴上.
（1）若椭圆
的焦距为1，求椭圆
的方程；
（2）设
分别是椭圆
的左、右焦点，
为椭圆
上第一象限内的点，直线
交
轴于点
，并且
.证明：当
变化时，点
在定直线
上.
【答案】（1）
；（2）证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）根据焦距为
，
，
，解得
，从而求得椭圆方程；（2）设点的坐标为
，利用直线
的方程求得
点的坐标，将坐标代入
，化简得
，代入椭圆方程，求得
，且
，所以点
在定直线
上.
试题解析：
（1）依题意，，即，
所以椭圆
的方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
（2）设，其中
，
因为直线
交
轴于点
，所以
，
故直线
的斜率
，直线
的斜率
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
直线的方程为
点的坐标为
，
所以直线
的斜率为
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
由于
，所以
，
化简得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
因为
为椭圆
上第一象限内的点，将上式代入
，得
，且，所以点在定直线上．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
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