题目内容
【题目】如图几何体是四棱锥,
为正三角形,
,
,
,且
.
(1)求证:平面平面
;
(2)是棱
的中点,求证:
平面
;
(3)求二面角的平面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3) .
【解析】
试题分析:(1)由面面垂直的判定定理;(2)由线线平行得到线面平行;(3)建立空间直角坐标系, 分别算出平面和平面
的法向量, 用空间向量数量积推论算出二面角的余弦值.
试题解析:(1)证明:∵为正三角形,
,
,
故连接交
于
点,则
,
又∵,
,故
面
,∴平面
平面
.
(2)证明:取的中点
,连接
,则
,且
平面
,∴
平面
;
而,
,∴
,且
平面
,∴
平面
.
综上所述,平面平面
,∴
平面
(3)解:由(1)知,且
,
,连接
,则
,故
;
又∵是
的中点,故
,
故如图建立空间直角坐标系,则,
,
,
,
,
.
设平面的法向量为
,则由
得
.
,
.
同理得平面的法向量
.
故二面角的平面角的余弦值为
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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