题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,讨论
的单调性;
(2)若对任意的,
恒有
成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)当时,递减区间为
,当
时,递减区间为
,递增区间为
,当
时,递减区间为
,递增区间为
;(2)
.
【解析】
试题分析:(1)首先对函数求导,然后求得导数等于零的方程的根,从而根据根的大小分、
、
;(2)首先结合(1)将问题转化为
,然后根据函数的单调性求得
的最小值,由此求得实数
的取值范围.
试题解析:(1),令
,得
,
,
当时,
,函数
在定义域
单调递减;
当时,在区间
,
上
,
单调递减,
在区间上
,
单调递增;
当时,在区间
,
上
,
单调递减,
在区间上
,
单调递增.
故时,递减区间为
;
时,递减区间为
,
,递增区间为
;
时,递减区间为
,
,递增区间为
.………………6分
(2)由(1)知当时,函数
在区间
单调递减;
所以当时,
,
,
问题等价于:对任意的,
恒有成立,即
,
因为,∴
.
所以,实数的取值范围是
.………………12分
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