题目内容
【题目】水培植物需要一种植物专用营养液．已知每投放
（
且
）个单位的营养液，它在水中释放的浓度
（克/升）随着时间
（天）变化的函数关系式近似为
，其中
，若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于4（克/升）时，它才能有效．
（1）若只投放一次4个单位的营养液，则有效时间可能达几天？
（2）若先投放2个单位的营养液，3天后投放
个单位的营养液．要使接下来的2天中，营养液能够持续有效，试求的最小值．
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】试题分析：
(1)由题意得到关于x的不等式，求解不等式可知营养液有效时间可达4天．
(2)利用题意结合对勾函数的性质可得
的最小值为
.
试题解析：
（1）∵营养液有效则需满足
，则
或
，解得
，
所以营养液有效时间可达4天．
（2）设第二次投放营养液的持续时间为
天，则此时第一次投放营养液的持续时间为
天，且
；设
为第一次投放营养液的浓度，
为第二次投放营养液的浓度，
为水中的营养液的浓度；
∴
，
，
在
上恒成立
∴
在上恒成立
令
，
，
又
，当且仅当
，即
时，取等号；
所以的最小值为．
答：要使接下来的2天中，营养液能够持续有效，的最小值为．
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