Question

设函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）．若x=-1为函数f（x）e^x的一个极值点，则如图四个图象可以为y=f（x）的图象序号是

 

（写出所有满足题目条件的序号）．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：先求出函数f（x）e^x的导函数，利用x=-1为函数f（x）e^x的一个极值点可得a，b，c之间的关系，再代入函数f（x）=ax²+bx+c，对答案分别代入验证，看哪个答案不成立即可．

解答： 解：因为[f（x）e^x]′=f′（x）e^x+f（x）（e^x）′=[f（x）+f′（x）]e^x，
且x=-1为函数f（x）e^x的一个极值点，所以f（-1）+f′（-1）=0；
对于①②，f（-1）=0且f′（-1）=0，所以成立；
对于③，f（-1）＜0，且a＜0，-

b

2a

＜-1，得2a-b＜0，即b-2a＞0，
所以f′（-1）＞0，
所以可满足f（-1）+f′（-1）=0，故③可以成立；
对于④，因f（-1）＞0，f′（-1）＞0，不满足f′（1）+f（1）=0，故不能成立，
故①②③成立．
故答案为：①②③

点评：本题考查极值点与导函数之间的关系．一般在知道一个函数的极值点时，直接把极值点代入导数令其等0即可．可导函数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．