Question

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b≥1)过点P（2，1），且离心率e=

3

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线的l的斜率为

1

2

，直线l与椭圆C交于A、B两点．求△PAB面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由椭圆的离心率得到a，b的关系，再由椭圆过定点P得另一关系式，联立后求得a，b的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）设出直线l的斜截式方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系及弦长公式求得弦长，由点到直线的距离公式求出AB边上的高，代入面积公式后利用基本不等式求最值．

解答： 解：（I）∵e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

3

4

，
∴a²=4b²，①
又椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b≥1)过点P（2，1），
∴

4

a2

+

1

b2

=1，②
联立①②解得，a²=8，b²=2．
故所求椭圆方程为

x2

8

+

y2

2

=1；
（II）设l的方程为y=

1

2

x+m，点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立

y=kx+m x2 8 + y2 2 =1

，整理得x²+2mx+2m²-4=0．
∴x1+x2=-2m，x1x2=2m2-4．
则|AB|=

1+ 1 4

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

5(4-m2)

．
点P到直线l的距离d=

|m|

1+ 1 4

=

2|m|

5

．
因此S△PAB=

1

2

d|AB|=

1

2

×

2|m|

5

×

5(4-m2)

=

m2(4-m2)

≤

m2+4-m2

2

=2．
当且仅当m²=2，即m=±

2

时取得最大值．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系求解，这是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是高考试卷中的压轴题．