Question

1．若平面向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，|$\overrightarrow{a}$|=1，且$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$），则|$\overrightarrow{b}$|=1．

Answer 1

分析 根据题意，由$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）可得$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）=$\overrightarrow{a}$²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，变形可得有$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的值，又由数量积的计算公式可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|cos60°=$\frac{1}{2}$（|$\overrightarrow{b}$|），将其变形即可得答案．

解答 解：根据题意，若$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$），则$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）=$\overrightarrow{a}$²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，
则有$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{a}$²）=$\frac{1}{2}$，
又由$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|cos60°=$\frac{1}{2}$（|$\overrightarrow{b}$|），
即|$\overrightarrow{b}$|=1；
故答案为：1．

点评 本题考查向量数量积的运算，关键是掌握向量数量积的计算公式．