Question

2．已知复数z满足|z-1|=|z-i|，其中i为虚数单位，且z+$\frac{1}{z}$为实数，则z=$\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$或$-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i$．

Answer 1

分析 设z=a+bi（a，b∈R），利用复数代数形式的乘除运算、模的计算公式、复数为实数的充要条件即可得出．

解答 解：设z=a+bi（a，b∈R），∵复数z满足|z-1|=|z-i|，且z+$\frac{1}{z}$为实数，
∴$\sqrt{（a-1）^{2}+{b}^{2}}=\sqrt{{a}^{2}+（b-1）^{2}}$，a+bi+$\frac{1}{a+bi}$=a+bi+$\frac{a-bi}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，即$\frac{b（{a}^{2}+{b}^{2}）-b}{{a}^{2}+{b}^{2}}=0$，
联立解得a=b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$a=b=-\frac{\sqrt{2}}{2}$或a=b=0（舍去）．
∴z=$\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$或z=$-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$或$-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i$．

点评 本题考查了复数代数形式的乘除运算、模的计算公式、复数为实数的充要条件，考查了计算能力，属于基础题．