Question

已知函数f（x）=lnx-

x

1+2x

（Ⅰ）求证：f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）若f[x（3x-2）]＜-

1

3

，求实数x的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导数即可；
（Ⅱ）将-

1

3

写成f（1），再根据（Ⅰ）即可利用函数的单调性求得实数x的取值范围．

解答： （Ⅰ）证明：由已知得f（x）的定义域为（0，+∞）
∵函数f（x）=lnx-

x

1+2x

，
∴f′(x)=

1

x

-

1+2x-2x

(1+2x)2

=

4x2+3x+1

x(1+2x)2

．
∵x＞0，
∴4x²+3x+1＞0，x（1+2x）²＞0．
∴当x＞0时，f′（x）＞0．
即f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）∵函数f（x）=lnx-

x

1+2x

，
∴f（1）=ln1

1

1+2×1

=-

1

3

．
由f[x（3x-2）]＜-

1

3

可得
f[x（3x-2）]＜f（1）．
由（Ⅰ）得

x(3x-2)＞0 x(3x-2)＜1

，
解得-

1

3

＜x＜0或

2

3

＜x＜1．
故实数x的取值范围为(-

1

3

，0)∪(

2

3

，1)．

点评：本题考查利用求导的方法判断函数的单调性以及求满足条件的自变量的区间．