Question

如果有穷数列a₁，a₂，a₃，…，a_m（m为正整数）满足a₁=a_m，a₂=a_m-1，…a_m=a₁．即a_i=a_m-i+1（i=1，2，…，m），我们称其为“对称数列”例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”．设{b_n}是项数为2m（m＞1，m∈N^*）的“对称数列”，并使得1，2，2²，2³，…，2^m-1依次为该数列中连续的前m项，则数列{b_n}的前2010项和S₂₀₁₀可以是：
（1）2²⁰¹⁰-1；（2）2¹⁰⁰⁶-2；（3）2^m+1-2^2m-2010-1；
其中正确命题的个数为（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：新定义,等差数列与等比数列

分析：本题根据新定义“对称数列”，研究数列{b_n}的前2010项和S₂₀₁₀，从而判断命题（1）（2）（3）是否正确，得到本题结论．

解答： 解：∵有穷数列a₁，a₂，a₃，…，a_m（m为正整数）满足a₁=a_m，a₂=a_m-1，…a_m=a₁．即a_i=a_m-i+1（i=1，2，…，m），我们称其为“对称数列”，
{b_n}是项数为2m（m＞1，m∈N^*）的“对称数列”，
∴b₁=b_2m，b₂=b_2m-1，…b_m=b_m+1．
∵数列{b_n}项数为2m项，
∴2m≥2010，m≥1005．
∵1，2，2²，2³，…，2^m-1依次为该数列{b_n}中连续的前m项，
∴数列{b_n}的2m项之和为：S_2m=2（b₁+b₂+…+b_m）=

2×1×(1-2m)

1-2

=2^m+1-2．
（1）当m≥2010时，
S₂₀₁₀=b₁+b₂+…+b₂₀₁₀
=1+2+2²⁺2³…+2²⁰⁰⁹
=

1-22010

1-2

=2²⁰¹⁰-1，
故选项（1）正确；
（2）当1005＜m＜2010时，
S₂₀₁₀=b₁+b₂+…+b_m+b_m+1+…+b₂₀₁₀
=S_2m-（b₂₀₁₁+b₂₀₁₂+…+b_2m）
=S_2m-（1+2+2²+…2^2m-2010-1）
=（2^m+1-2）-（2^2m-2010-1）
=2^m+1-2^2m-2010-1，
故选项（3）正确；
（3）当m=1005时，则2m=2010，
则有：S₂₀₁₀=S_2m=2¹⁰⁰⁶-2．
故选项（2）正确；
综上，正确的命题个数为3．
故选D．

点评：本题考查了新定义概念与等比数列求和，还考查了分类讨论的数学思想，本题难度适中，属于中档题．