Question

已知数列{a_n}的通项公式a_n=2n•sin（

nπ

2

-

π

3

）+

3

ncos

nπ

2

，前n项和为S_n，则S₂₀₁₃=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：展开两角差的正弦化简，得到数列的所有偶数项为0，当n为4k+1，k∈N时，a_n=n；当n为4k+3，k∈N时，a_n=-n．分组后利用等差数列的前n项和得答案．

解答： 解：a_n=2n•sin（

nπ

2

-

π

3

）+

3

ncos

nπ

2

=2n（sin

nπ

2

•cos

π

3

-cos

nπ

2

•sin

π

3

）+

3

ncos

nπ

2

=2n(

1

2

sin

nπ

2

-

3

2

cos

nπ

2

)+

3

ncos

nπ

2

=nsin

nπ

2

．
∴当n为偶数时，a_n=0；
当n为4k+1，k∈N时，a_n=n；
当n为4k+3，k∈N时，a_n=-n．
则S₂₀₁₃=a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₃=（1+5+9+…+2013）-（3+7+9+…+2011）=

(1+2013)×504

2

-

(3+2011)×503

2

=1007．
故答案为：1007．

点评：本题考查了两角和与差的正弦，考查了数列的求和，关键是对数列的项的规律的发现，是中档题．