Question

函数f（x）=ax³+x²+x+1有极值的充要条件是（　　）

• A、a＞

  1

  3

• B、a≥

  1

  3

• C、a＜

  1

  3

• D、a≤

  1

  3

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：若a≠0，三次函数f（x）=ax³+x²+x+1有极值，f′（x）=0有不相等的两个解，利用判别式即可求得结论，若a=0，函数为二次函数可知有极值．

解答： 解：求得导函数f′（x）=3ax²+2x+1，
若a≠0，三次函数f（x）有极值，则f′（x）=0有不相等的两个解，
∴△=4-12a＞0，∴a＜

1

3

，
若a=0，导函数f′（x）=3ax²+2x+1=2x+1
令f′（x）＞0，则x＞-

1

2

；令f′（x）＜0，则x＜-

1

2

；
∴函数在x=-

1

2

处取得极小值．
故选C

点评：本题主要考查了函数的导数与极值的关系，以及充要条件的判断，属于中档题．