Question

20．求圆心在直线x+y=0上，且过直线x-2y+4=0与圆x²+y²+2x+2y-8=0的交点的圆的方程．

Answer 1

分析 先求得直线x-2y+4=0与圆x²+y²+2x+2y-8=0的交点，设所求圆心坐标为（a，-a），则（a，-a）到两圆交点（-4，0）和（0，2）的距离相等，求得a的值，可得圆心和半径，从而求得要求的圆的方程．

解答 解：将直线与圆的方程联立得方程组$\left\{{\begin{array}{l}{x-2y+4=0}\\{{x^2}+{y^2}+2x+4y-8=0}\end{array}}\right.$，消去x得到y²-2y=0，解得：y=0或y=2，
两圆的交点坐标A（-4，0），B（0，2）．
因所求圆心在直线x+y=0上，故设所求圆心坐标为（a，-a），则（a，-a）到两圆交点（-4，0）和（0，2）的距离相等，
故有：$\sqrt{{（a+4）}^{2}{+（-a）}^{2}}$=$\sqrt{{（a-0）}^{2}{+（-a-2）}^{2}}$，
即4a=-12，∴a=-3，从而圆心坐标是（-3，3），
又$r=\sqrt{{{（-4+3）}^2}+{3^2}}=\sqrt{10}$，故所求圆的方程为（x+3）²+（y-3）²=10．

点评 本题主要考查求两曲线的交点，求圆的标准方程，求出圆心和半径，是解题的关键，属于基础题．