Question

9．已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F与双曲线$\frac{{x}^{2}}{12}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的一个焦点重合，直线y=x-4与抛物线交于A，B两点．
（1）求p的值；
（2）求弦|AB|的长．

Answer 1

分析 （1）易知焦点F（4，0）；从而确定$\frac{p}{2}$=4，从而解得．
（2）易知直线y=x-4过点F（4，0），联立方程化简得x²-24x+16=0，从而可得x₁+x₂=24，从而解得．

解答 解：（1）∵双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{12}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
∴c=$\sqrt{12+4}$=4，
故焦点F（4，0）；
故$\frac{p}{2}$=4，故p=8；
（2）易知直线y=x-4过点F（4，0），
联立方程可得$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=16x}\\{y=x-4}\end{array}\right.$，
解得，x²-24x+16=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
故x₁+x₂=24，
故|AB|=|AF|+|BF|=24+8=32．

点评 本题考查了双曲线的标准方程的应用及抛物线的标准方程的求法及直线与抛物线位置关系的判断与应用．