Question

11．如图所示的三个几何体，一个是长方体，一个是直三棱柱，一个是过圆柱上、下底面圆心切下圆柱的四分之一部分，若这三个几何体的正视图和俯视图是相同的正方形，求他们的表面积之比．

Answer 1

分析 利用三视图判断三个几何体的结构特征，设出正方体的棱长，由此分别求出三个几何体的表面积，即可得到比值．

解答 解：因为三个几何体的正视图和俯视图为相同的正方形，所以原长方体棱长相等为正方体，
原直三棱柱是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，
设正方体的棱长为1，
则它的表面积为：6×1²=6，
三棱柱的表面积为：$\frac{1}{2}$×1²×2+1²×2+2×$\sqrt{2}$=3+2$\sqrt{2}$，
四分之一圆柱的表面积为：$\frac{1}{4}$π•1²×2+1²×2+$\frac{1}{4}$×2π•1×1=π+2，
所以它们的表面积之比为6：（3+2$\sqrt{2}$）：（π+2）．

点评 本题考查了空间几何体三视图的应用问题，也考查了几何体表面积的计算问题，是基础题目．