Question

12．点P在椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上，点P到直线3x-4y=24的最大距离和最小距离为$\frac{12（2+\sqrt{2}）}{5}$；$\frac{12（2-\sqrt{2}）}{5}$．

Answer 1

分析 设点P的坐标为（4cosθ，3sinθ），可得点P到直线3x-4y=24的d的表达式，再根据余弦函数的值域求得它的最值．

解答 解：设点P的坐标为（4cosθ，3sinθ），
可得点P到直线3x-4y=24的d=$\frac{|12cosθ-12sinθ-24|}{{\sqrt{{3}^{2}+（-4）^{2}}}^{\;}}$=$\frac{|12\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）-24|}{5}$，
当$cos（θ+\frac{π}{4}）=-1$时，d取得最大值为$\frac{12（2+\sqrt{2}）}{5}$，
当$cos（θ+\frac{π}{4}）=1$时，最小值为 $\frac{12（2-\sqrt{2}）}{5}$．
故答案为：$\frac{12（2+\sqrt{2}）}{5}$；$\frac{12（2-\sqrt{2}）}{5}$．

点评 本题主要考查椭圆的参数方程，点到直线的距离公式的应用，余弦函数的值域，属于中档题．