Question

求满足下列条件的直线方程：
（1）经过点P（2，-1）且与直线2x+3y+12=0平行；
（2）经过点Q（-1，3）且与直线x+2y-1=0垂直；
（3）经过点M（1，2）且与点A（2，3）、B（4，-5）距离相等；
（4）经过点N（-1，3）且在x轴的截距与它在y轴上的截距的和为零．

Answer 1

考点：点到直线的距离公式,直线的一般式方程与直线的平行关系,直线的一般式方程与直线的垂直关系

专题：直线与圆

分析：（1）设与直线2x+3y+12=0平行的直线方程为2x+3y+c=0，把点P（2，-1）代入，能求出直线方程．
（2）设与直线x+2y-1=0垂直的直线方程为2x-y+c₁=0，把点Q（-1，3）代入，能求出直线方程．
（3）当所求直线的斜率不存在时，直线方程为x=1，不成立，当所求直线的斜率存在时，设经过点M（1，2）的直线为kx-y-k+2=0，由已知得

|2k-3-k+2|

k2+1

=

|4k+5-k+2|

k2+1

，由此能求出直线方程．
（4）当横截距a=0时，纵截距b=0，此时直线方程过点（0，0），（-1，3）；当横截距a≠0时，纵截距b=-a，此时直线方程为

x

a

-

y

a

=1．由此能求出直线方程．

解答： 解：（1）设与直线2x+3y+12=0平行的直线方程为2x+3y+c=0，
把点P（2，-1）代入，得：
4-3+c=0，得c=-1，
∴所求直线方程为：2x+3y-1=0．
（2）设与直线x+2y-1=0垂直的直线方程为2x-y+c₁=0，
把点Q（-1，3）代入，得-2-3+c₁=0，解得c₁=5，
∴所求直线方程为：2x-y+5=0．
（3）当所求直线的斜率不存在时，直线方程为x=1，不成立，
当所求直线的斜率存在时，
设经过点M（1，2）的直线为y-2=k（x-1），即kx-y-k+2=0，
∵所求直线与点A（2，3）、B（4，-5）距离相等，
∴

|2k-3-k+2|

k2+1

=

|4k+5-k+2|

k2+1

，
解得k=-4或k=-

3

2

，
故所求直线方程为4x+y-6=0或3x+2y-7=0．
（4）当横截距a=0时，纵截距b=0，
此时直线方程过点（0，0），（-1，3），
∴直线方程为

y

x

=

3

-1

，整理，得3x+y=0．
当横截距a≠0时，纵截距b=-a，
此时直线方程为

x

a

-

y

a

=1，
把N（-1，3）代入得

-1

a

-

3

a

=1，
解得a=-4，
∴直线方程为

x

-4

+

y

4

=0，整理，得x-y+4=0，
故所求直线方程为：3x+y=0或x-y+4=0．

点评：本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线间的位置关系、点到直线的距离公式的合理运用．