Question

在平面直角坐标系中，点P到两点（0，

3

），（0，-

3

）的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y=kx+1与C交于点A、B．
（1）写出C的方程；
（2）若

OA

•

OB

＞-1，求k的取值范围；
（3）若点A在第一象限，证明：当k＞0时，恒有|

OA

|＞|

OB

|．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）动点P到两点（0，

3

），（0，-

3

）的距离之和等于4，由椭圆的定义知此动点的轨迹应为椭圆，从而可得动点的轨迹方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由以AB为直径的圆过原点0，可得OA⊥OB，从而x₁x₂+y₁y₂=0，将直线y=kx+l代入椭圆方程，消元可得一元二次方程，利用韦达定理，即可求k的值；
（3）用坐标表示出|

OA

|²-|

OB

|²，利用点A在第一象限，k＞0，即可证得结论．

解答： （1）解：设P（x，y），
∵动点P到两点（0，

3

），（0，-

3

）的距离之和等于4
∴由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以（0，

3

），（0，-

3

）为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴b=1，
故曲线C的方程为x2+

y2

4

=1．
（2）解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由以AB为直径的圆过原点0，可得OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0
将直线y=kx+l代入椭圆方程，消元可得（4+k²）x²+2kx-3=0
∴x₁+x₂=-

2k

4+k2

，x₁x₂=-

3

4+k2

∴y₁y₂=（kx₁+l）（kx₂+l）=

4-4k2

4+k2

∴-

3

4+k2

+

4-4k2

4+k2

=0
∴k=±

1

2

；
（3）证明：|

OA

|²-|

OB

|²=x₁²-x₂²+y₁²-y₂²=

6k(x1-x2)

4+k2

∵点A在第一象限，∴x₁＞0
∵x₁x₂=-

3

4+k2

，∴x₂＜0
∴x₁-x₂＞0
∵k＞0，∴

6k(x1-x2)

4+k2

＞0，
∴恒有|OA|＞|OB|．

点评：本题考查了利用定义法求动点的轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查不等式的证明，关键要理解好椭圆定义的条件，正确运用韦达定理进行解题．