Question

14．已知F₁，F₂是椭圆C₁与双曲线C₂的公共焦点，点P是C₁与C₂的公共点，若椭圆C₁的离心率e₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∠F₁PF₂=$\frac{π}{2}$，则双曲线C₂的离心率e₂的值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 设椭圆及双曲线方程，利用定义求得丨PF₁丨=a₁+a₂，丨PF₂丨=a₁-a₂，利用勾股定理及椭圆的离心率公式，求得a₂²=$\frac{2}{3}$c²，利用双曲线的离心率公式即可求得e₂的值

解答 解：设椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}_{1}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}_{1}^{2}}=1$（a₁＞b₁＞0），双曲线的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}_{2}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}_{2}^{2}}=1$（a₂＞0，b₂＞0），
由题意可知丨PF₁丨+丨PF₂丨=2a₁，丨PF₁丨-丨PF₂丨=2a₂，
丨PF₁丨=a₁+a₂，丨PF₂丨=a₁-a₂，
由∠F₁PF₂=$\frac{π}{2}$，则丨PF₁丨²+丨PF₂丨²=丨F₁F₂丨²，
∴（a₁+a₂）²+（a₁-a₂）²=（2c）²，即a₁²+a₂²=2c²，
由椭圆C₁的离心率e₁=$\frac{c}{{a}_{1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则3a₁²=4c²，
∴a₂²=$\frac{2}{3}$c²，即$\frac{c}{{a}_{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
则双曲线C₂的离心率e₂的值为$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
故选：B．

点评 本题考查椭圆及双曲线的定义及简单几何性质，考查数形结合思想，属于中档题．