Question

17．已知函数f（x）=lnx-a（a∈R）与函数$F（x）=x+\frac{2}{x}$有公共切线．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）若不等式xf（x）+e＞2-a对于x＞0的一切值恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）$f'（x）=\frac{1}{x}$，$F'（x）=1-\frac{2}{x^2}$．由函数f（x）与F（x）有公共切线，知函数f（x）与F（x）的图象相切或无交点．由此能求出a的取值范围．
（Ⅱ）等价于xlnx+a+e-2-ax≥0在x∈（0，+∞）上恒成立，令g（x）=xlnx+a+e-2-ax，g'（x）=lnx+1-a，令g'（x）=0，得$x=\frac{e^a}{e}$，从而求出g（x）的最小值，令$t（x）=x+e-2-\frac{e^x}{e}$，由$t'（x）=1-\frac{e^x}{e}$=0，得x=1，由此能求出a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=\frac{1}{x}$，$F'（x）=1-\frac{2}{x^2}$．
∵函数f（x）与F（x）有公共切线，∴函数f（x）与F（x）的图象相切或无交点．
当两函数图象相切时，设切点的横坐标为x₀（x₀＞0），则$f'（{x_0}）=\frac{1}{x_0}=F'（{x_0}）=1-\frac{2}{{{x_0}^2}}$，
解得x₀=2或x₀=-1（舍去），
则f（2）=F（2），得a=ln2-3，
由此求出a≥ln2-3，即a的取值范围为[ln2-3，+∞）．
（Ⅱ）等价于xlnx+a+e-2-ax≥0在x∈（0，+∞）上恒成立，
令g（x）=xlnx+a+e-2-ax，
因为g'（x）=lnx+1-a，令g'（x）=0，得$x=\frac{e^a}{e}$，

x	$（0，\frac{e^a}{e}）$	$\frac{e^a}{e}$	$（\frac{e^a}{e}，+∞）$
g'（x）	-	0	+
g（x）		极小值

所以g（x）的最小值为$g（\frac{e^a}{e}）=（a-1）\frac{e^a}{e}+a+e-2-a•\frac{e^a}{e}=a+e-2-\frac{e^a}{e}$，
令$t（x）=x+e-2-\frac{e^x}{e}$，因为$t'（x）=1-\frac{e^x}{e}$，
令t'（x）=0，得x=1，且

x	（0，1）	1	（1，+∞）
t'（x）	+	0	-
t（x）		极大值

所以当a∈（0，1）时，g（x）的最小值$t（a）＞t（0）=e-2-\frac{1}{e}=\frac{e（e-2）-1}{e}＞0$，
当a∈[1，+∞）时，g（x）的最小值为$t（a）=ae-2-\frac{e^a}{e}≥0$=t（2），
所以a∈[1，2]．
综上得a的取值范围为（0，2]．

点评 本题考查实数的取值范围、导数性质、构造法、导数的几何意义等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、分类与整合思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．