Question

已知函数f（x）=sinx•cosx，x∈R，给出下列四个命题：①f（x）是奇函数；②f（x）的图象关于直线x=

3

5

对称；③f（x）在区间（-

π

4

，

π

4

）上是增函数；④f（x）的值域是[-

1

2

，

1

2

]．其中正确命题的序号是

 

（注：把你认为正确命题的序号填在横线上）

Answer 1

考点：二倍角的正弦

专题：三角函数的图像与性质

分析：函数f（x）=sinx•cosx=

1

2

sin2x，x∈R，下列四个命题：
①由f（-x）=-f（x），即可得出奇偶性；
②sin2x=±1，解得x=

kπ

4

(k∈Z)，可得f（x）的图象的对称轴；
③若x∈（-

π

4

，

π

4

），则2x∈(-

π

2

，

π

2

)，因此f（x）在区间（-

π

4

，

π

4

）上是增函数；
④由于sin2x∈[-1，1]，可得f（x）的值域是[-

1

2

，

1

2

]．

解答： 解：函数f（x）=sinx•cosx=

1

2

sin2x，x∈R，下列四个命题：
①∵f（-x）=-f（x），∴f（x）是奇函数，正确；
②sin2x=±1，解得x=

kπ

4

(k∈Z)，可得f（x）的图象关于直线x=

kπ

4

（k∈Z）对称，因此不正确；
③若x∈（-

π

4

，

π

4

），则2x∈(-

π

2

，

π

2

)，因此f（x）在区间（-

π

4

，

π

4

）上是增函数，正确；
④∵sin2x∈[-1，1]，∴f（x）的值域是[-

1

2

，

1

2

]，正确．
其中正确命题的序号是①③④．
故答案为：①③④．

点评：本题考查了三角函数的图象与性质、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．