Question

3．已知a＞0，b＞0且a+b=1．
（Ⅰ）求$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$的最小值；
（Ⅱ）若$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$≥|2x-1|-|x+1|恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据基本不等式的性质，利用1的代换求出$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$的最小值为9；
（Ⅱ）根据不等式恒成立，结合分类讨论进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0 且a+b=1，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$=（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$）=5+$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$≥9，
故$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$的最小值为9，（5分）
（Ⅱ）∵对 于a，b∈（0，+∞），使$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$≥|2x-1|-|x+1|恒成立，
∴|2x-1|-|x+1|≤9，（7分）
若x≥$\frac{1}{2}$，则不等式等价为2x-1-x-1≤9，解得：x≤11，
∴$\frac{1}{2}$≤x≤11；
若-1＜x＜$\frac{1}{2}$，则不等式等价为-2x+1-x-1≤9，解得：x≤3，
∴-1＜x＜$\frac{1}{2}$，
若x≤-1，则不等式等价为-2x+1+x+1≤9，解得：x≥-7，
∴-7≤x≤-1
综上-7≤x≤11．                                   （10分）

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，利用基本不等式，结合绝对值不等式的解法是解决本题的关键．注意要进行分类讨论．